English
Matematický popis evolučních procesů se v mnoha případech zakládá na systémech obecně nelineárních parciálních diferenciálních rovnic. Při popisu proudění tekutin odpovídají základním fyzikálním principům – zákonům zachování hmoty, hybnosti a energie. Klasický přístup k těmto úlohám je založen na mnohdy neodůvodněném předpokladu, že řešení jsou spojité veličiny jak v prostoru, tak vzhledem k času. Kritický pohled matematiků do jisté míry odhalil očekávanou skutečnost, že řešení některých rovnic nutně obsahují singularity ve formě bodové koncentrace nebo nekontrolovatelných oscilací a tyto jevy nastávají v relativně krátkých časových intervalech, i když počáteční rozložení všech veličin je dokonale hladké.
Foto: Stanislava Kyselová, Akademický bulletinu
Eduard Feireisl obdržel za výsledky dosažené v matematickém modelování pohybu a výměny tepla v plynech ocenění Evropské rady pro výzkum (ERC) a jako jediný z českých zástupců loni získal finanční podporu ERC Advanced Grants. Grant je pětiletý a činí přibližně 18 milionů korun.
Ve většině případů je tedy nutné tyto jevy chápat jako skutečné vlastnosti pozorovaných systémů než jen jako nedostatky nevhodně zvoleného matematického popisu. Moderní teorie parciálních diferenciálních rovnic tudíž opustila svět hladkých veličin a hledá jiné způsoby formulace úloh, které by vedly ke konzistentní matematické teorii a spolehlivému základu numerických výpočtů prováděných za pomoci moderní výpočetní techniky. Projekt MATHEF (Mathematical Thermodynamics of Fluids) si klade za cíl položit základy takové teorie v oblasti matematických modelů proudění stlačitelných, tepelně vodivých tekutin.
Matematické modely proudění tekutin
Základní rovnice popisující pohyb vazké a nestlačitelné tekutiny nezávisle odvodili francouzský inženýr a fyzik Claude-Louis Navier (1785–1836) a anglický matematik (fyzik, teolog, politik) George Gabriel Stokes (1819–1903). Jejich přístup se zakládá na vidění světa očima klasické fyziky, a dobře tedy vykazuje známé nedostatky jako například nekonečnou rychlost šíření informace. Avšak i přes tyto drobné vady jde o jednoduchý a nesčetným použitím v praktických situacích dokonale ověřený matematický model, který se dodnes považuje za věrný popis chování tekutin za běžných podmínek. Navierovy-Stokesovy rovnice a jejich varianty se používají i jako východisko pro popis turbulence a jiných jevů, jejichž podstatu jsme dosud uspokojivě nepochopili.
Z hlediska matematické teorie představuje řešení Navierova-Stokesova systému jednu z největších výzev teorie parciálních diferenciálních rovnic a Clayův ústav jej zařadil jako jeden z tzv. problémů milénia (millenium problems). Jde o to, že přes mnohaleté úsilí generací špičkových matematiků dosud nevíme, zda řešení Navierových-Stokesových rovnic pro libovolná data existují v klasickém smyslu na libovolně dlouhém časovém intervalu.
Ve světle těchto obtíží položil francouzský matematik Jean Leray (1906–1998) základy tzv. moderní teorie Navierových-Stokesových rovnic, která se zakládá na pojmech zobecněných derivací a postupem času byla přizpůsobena a využita k řešení většiny nelineárních parciálních diferenciálních rovnic.
Zdroj: chemistry.about.com
Francouz Claude Louis Marie Henri Navier (vlevo) a Ir George Gabriel Stokes v letech 1827 a 1845 odvodili nezávisle na sobě rovnice popisující proudění nestlačitelné Newtonské tekutiny.
Projekt MATHEF si dává za úkol studovat zobecněný Navierův-Stokesův-Fourierův systém [Joseph Fourier (1768–1830) – francouzský matematik a fyzik], který bere v úvahu též stlačitelnost a tepelnou vodivost tekutin. Podobně jako Leray vycházíme z pojmu zobecněných derivací a vhodného použití základních fyzikálních principů, jako jsou První a Druhý zákon termodynamiky. Hlavním cílem tohoto projektu je odvození vhodné formulace Navierova-Stokesova--Fourierova systému v řeči moderní teorie a zodpovězení fundamentálních otázek, jako jsou existence řešení, jeho závislost na datech a stabilita a též následná analýza vhodných numerických metod.
Základní otázky, determinismus, stabilita
Současný rozvoj matematické teorie parciálních diferenciálních rovnic znovu otevřel diskusi kolem základních otázek korektnosti matematických modelů. Použitelný model by měl být deterministický, pro daná data by měl připouštět existenci nejvýše jednoho řešení. Naneštěstí je naše informace o vlastnostech možných řešení zejména nelineárních rovnic značně limitována a omezuje se většinou na odhady velikosti stavových veličin; v případě modelů proudění tekutin je to hmota, hybnost, energie a u vazkých tekutin též omezenost produkce entropie. Taková informace je ve většině případů nedostatečná k přesnému důkazu korektnosti úlohy. Takzvaná zobecněná řešení, s nimiž pracuje moderní teorie, mohou dokonce princip korektnosti porušovat, jak ukazují nedávné studie matematických modelů ideálních (nevazkých) tekutin.
V lepším případě řešení sice jednoznačně určují data (počáteční stav systému), ale vykazuje značnou citlivost (nestabilitu) – malá změna počátečních podmínek vede k velkým výkyvům v budoucnosti. Takové jevy odpovídají chaotickému chování systému, a nelze je tudíž a priori vyloučit.
Zdroj: chemistry.about.com
Objevitel skleníkového efektu Jean Baptiste Joseph Fourier se proslavil zkoumáním Fourierových řad a jejich aplikací k problémům toků tepla; na jeho počest je pojmenována Fourierova transformace.
Značná část projektu MATHEF se věnuje nalezení vhodných dodatečných podmínek, které by zaručovaly korektnost úloh proudění tekutin i ve třídách zobecněných řešení. V tomto kontextu se takové podmínky zakládají na fyzikálních důsledcích Druhého zákona termodynamiky a formulují v řeči maximalizace produkce entropie systému v daném časovém intervalu. Nedávno zavedený pojem relativní entropie (energie) následně umožňuje měřit „vzdálenost” řešení určitého systému od daného stavu nebo jiného řešení úlohy. Řešitel projektu a jeho spolupracovníci adaptovali tuto metodu na systémy rovnic, jako je Navierův-Stokesův-Fourierův systém, což vedlo k výsledkům o stabilitě – například souhlasu zobecněného a klasického řešení, pokud klasické řešení existuje. Použití uvedeného přístupu v rámci projektu by mělo vést mj. k důkazu konvergence numerických metod.
Od jednoduchého ke složitému
I přes zjevný aplikační charakter úloh teorie proudění je MATHEF především projektem teoretickým spadajícím do oblasti základního výzkumu.
Pilotní myšlenkou projektu je, že studium jednoduchých modelových úloh (avatar problems) vede nakonec k pochopení komplexity celého systému. Takové úlohy, jakou je například výše zmíněný Navierův-Stokesův-Fourierův systém, již obsahují všechny základní rysy jevů reálného světa, ale jsou oproštěny od technických komplikací, které nejsou pro pochopení vlastností studovaných systémů podstatné.
Zdroj: math.science.uni_nantes.fr
Francouzský matematik Jean Leray položil základy tzv. moderní teorie Navierových-Stokesových rovnic.
Projekt MATHEF je přirozeným pokračováním výzkumu, který v minulosti podporovaly mnohé projekty Grantové agentury ČR, Grantové agentury AV ČR a též Nečasova centra pro matematické modelování ve spolupráci s Matematicko-fyzikální fakultou UK a Fakultou jadernou a fyzikálně inženýrskou ČVUT v Praze. V poslední době získal autorův výzkum podporu v rámci projektu AV ČR – Praemium Academiae. Kromě dosažení nových teoretických výsledků je jedním z cílů projektu získat nové mladé vědecké pracovníky, kteří by se zapojili do činnosti výzkumných ústavů AV ČR a českých vysokých škol. Za tímto účelem jsou v projektu vyčleněny nemalé prostředky pro dva doktorandy a jednoho pracovníka v kategorii postdoktorandů. Pamatuje se i na prohlubování mezinárodní spolupráce a prezentace výsledků na konferencích a společných setkáních.
EDUARD FEIREISL,
Matematický ústav AV ČR, v. v. i.