Modelování heterogenních materiálů

Pracovník Fakulty aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni prof. Dr. Ing. Eduard Rohan, DSc., obhájil disertaci Homogenization of strongly heterogeneous porous media před komisí Mechanika těles, konstrukcí, mechanismů a prostředí a získal vědecký titul „doktor technických věd“. Disertace prof. Rohana je vysoce aktuální a najde aplikace jak v oblasti vývoje progresivních inženýrských materiálů, tak i v biomedicínském inženýrství. Práce pokrývá několik vědních oborů (matematické a počítačové modelování, nelineární mechaniku těles, mechaniku kompozitních materiálů a biomechaniku) a je přínosem k víceúrovňovému modelování silně heterogenních materiálů a vícefázových prostředí.

Foto: Archiv autora

Disertační práce se věnuje matematickému modelování heterogenních materiálů z pohledu využití teorie homogenizace periodických struktur. Zabývá se vývojem takových modelů, které dokáží efektivně popsat chování často nesmírně komplikovaných materiálových struktur na několika škálách. Cílem je získat modely, které jsou vhodné pro počítačové simulace s ohledem na omezení výpočetního výkonu a datové kapacity. Kromě klasických kompozitních materiálů tak lze studovat i vícefázová porézní média, mezi jinými biologické tkáně. Pojem heterogenity je vázán na existenci jisté mezoškály utvářené jako periodická struktura, která začleňuje komponenty různých fyzikálních vlastností. Příkladem v mechanice mohou být klasické kompozitní materiály sestávající z inkluzí či vláken a matrice – vzájemné uspořádání těchto dvou fází předurčuje obecně anizotropní vlastnosti (např. tuhost nebo tepelnou vodivost) pozorované na tzv. makroškále.
Současné možnosti počítačového modelování s využitím jakkoli mocného numerického aparátu pro řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDR) zatím obecně nedovolují simulovat chování heterogenních materiálů přímým výpočtem. Zpravidla je nutné použít vhodnou redukci modelu. Jejím příkladem je metoda homogenizace založená na asymptotické analýze systémů PDR, jejichž koeficienty periodicky oscilují v závislosti na pozici v heterogenní struktuře. Výsledkem limitního přechodu vůči zmenšujícímu se parametru měřítka je homogenizovaný model. Disertace si všímá možnosti studia vlivu silných heterogenit, kdy materiálové parametry mezoškály mohou na měřítku záviset. Toho lze využít pro modelování metamateriálů, jejichž nevšední vlastnosti jsou důsledkem vhodného uspořádání běžných komponent mikrostruktury. Tak lze sledovat například vlnově disperzní chování phononických krystalů – metamateriálů s velkým rozdílem v elasticitě jednotlivých složek. Rozložení zakázaných pásem je možné zjistit podle zápornosti frekvenčně závislé homogenizované hustoty, která v takovém případě vyjadřuje vliv antiresonancí mikrostruktury na makromodel. Využití takového „tlumicího“ efektu je široké a vývoj vhodných materiálů je proto v popředí zájmu špičkových pracovišť.
Významným přínosem modelování silně heterogenních médií metodou homogenizace je i kvalitativní pohled na jejich efektivní makroskopické vlastnosti prostřednictvím homogenizovaných koeficientů, neboť ty vyjadřují vliv interakcí na mezoškále. V práci jsou zkoumány i modely kontinuí s dvojí porozitou a různým topologickým uspořádáním pórů nasycených tekutinou. Při jejich deformaci lze pozorovat viskoelastické chování s ochabující pamětí, jev mající původ v mikroproudění takovými hierarchiemi pórů. Zmíněné modely nalézají aplikace například v geomechanice či ve stavebním inženýrství, cílem je však vyvíjet především mikrostrukturálně orientované tkáňové modely. Výsledky tohoto výzkumu tak napomohou např. při studiu poroelastických vlastností kosti a souvisejících procesů kostní přestavby. Velmi perspektivní je také jejich využití při vývoji počítačových modelů tkáňového prokrvení. V tomto ohledu by vyvinutá a v práci popsaná metodika měla přispět k přesnější interpretaci výsledků počítačové tomografie mozku nebo jater a tím napomoci při diagnostice a plánování operací.

EDUARD ROHAN,
Západočeská univerzita v Plzni